【x的幂级数是什么】在数学中，幂级数是一种以变量 $ x $ 为自变量的无穷级数，其形式为：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n
$$
其中，$ a_n $ 是系数，$ c $ 是展开中心。当 $ c = 0 $ 时，幂级数称为麦克劳林级数。
对于“x的幂级数”，通常指的是以 $ x $ 为变量、以 $ x^n $ 为基本项的幂级数。下面是一些常见的函数的幂级数展开形式及其特点。
常见函数的幂级数展开
| 函数 | 幂级数表达式 | 收敛半径 | 说明 | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ +\infty $ | 全域收敛 | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ +\infty $ | 奇函数，仅含奇次项 | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ +\infty $ | 偶函数，仅含偶次项 | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ 1 $ | 收敛于 $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ 1 $ | 收敛于 $ | x | < 1 $ |
| $ \arctan x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ 1 $ | 收敛于 $ | x | \leq 1 $ |
总结
“x的幂级数”指的是以 $ x $ 为变量的幂级数，常见于数学分析和工程计算中。它通过将函数表示为无限项的多项式形式，便于近似计算、积分、微分等操作。
不同的函数有不同的幂级数展开方式，这些展开通常基于泰勒公式或麦克劳林公式。幂级数的收敛性是使用中的关键问题，不同函数的收敛区间也各不相同。
通过掌握常见的幂级数形式，可以更高效地处理许多数学和物理问题。
